「よろしくお願いします」はこう訳す

もしかしたら日本語の中で一番便利な言葉かもしれない「よろしくお願いします」ですが、英語に訳すとなると考えてしまいますね。
直訳でPlease be nice to me. やPlease treat me kindly.（私に優しくしてください）なんて言うとびっくりされてしまうかもしれません。
直訳ではなく「よろしくお願いします」を使うときの気持ちを考えて英語にしてみましょう。

はっきりとは言わないけれど、相手に自分の想いや願望を伝える

例えば、毎週更新しているこちらでの連載記事を「どうぞよろしくお願いします」という場合、「これからの連載をどうぞご期待ください」や「引き続き連載を読んでください」という想いがつまっています。
そういうときは、

Keep an eye out for more articles like this one coming soon.  これからも連載を読んでくださいね。

という表現が使えます。

その他にも「今後ともよろしくお願いします」というよくある表現には、「またお会いしましょう」「連絡を取り合いましょう」「また一緒に仕事をしたいです」という想いが含まれていますので、

I’m looking forward to seeing you again.

Let’s keep in touch.

I hope we can work together in the future.

などの表現が考えられます。

相手に頼みごとをした時に、感謝の気持ちを伝える

日常会話でよく使う「よろしく！」は、「お願いね！ありがとう！」という気持ちが含まれていますよね。このときはシンプルにThank you!でも大丈夫ですが、たった今お願いをしてこれからやってもらうというときは、

Thank you ahead of time for 〜ing. 
〜してくれることに前もってありがとう。

という表現がピッタリです。

とても便利で曖昧な「よろしくお願いします」ですが、使うときの気持ちを考えて英語にしてみることで、様々な英語表現が生まれそうですね。